Stochastik
Inhalt: Grundbegriffe (Zufall, Laplace, Ergebnis, Ereignis, Ergebnismenge), Baumdiagramm, Vierfeldertafel
Grundbegriffe
Zufallsexperiment:
Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, der beliebig oft (aber unter gleichen Bedingungen) wiederholbar ist und mehr als einen möglichen Ausgang haben kann. Dabei kann nicht vorausgesagt werden, welches Ergebnis das Zufallsexperiment haben wird. Beispiel ist: Werfen einer geraden oder ungeraden Zahl mit einem Würfel (1-6)
Laplace Experiment:
Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ausgänge gleich wahrscheinlich sind. Ein Beispiel hierfür ist der Münzwurf. Wenn jedoch die Aufgänge unterschiedlich wahrscheinlich sind (z.B. Marmeladenbrot werden, da es öfter auf die Marmeladenseite fällt) sind keine Laplace Experimente.
Ergebnis oder Ereignis oder Ergebnismenge?:
- Ergebnisse sind die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments.
- Ergebnismenge fasst alle möglichen Ergebnisse in einer Menge zusammen. Das übliche Zeichen ist Ω (gesprochen 'Omega').
- Ereignis ist jede Zusammenfassung von einem oder mehreren Ergebnissen eines Zufallsexperimentes in einer Menge.
Es gibt auch noch das unmögliche Ereignis (enthält keine Ergebnisse) und das sichere Ereignis (enthält alle Ergebnisse).
Bsp.: Werfen eines Würfels (1-6)
- Ergebnisse: 1; 2; 3; 4; 5 und 6
- Ergebnismenge: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
- Ereignis: für eine gerade Zahl {2; 4; 6}
Baumdiagramme
Mehrstufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme:
Wenn mehrere Zufallsexperimente nacheinander durchgeführt werden, spricht man von dem mehrstufigen Zufallsexperiment. Diese können sehr gut mit Hilfe von Baumdiagrammen dargestellt werden (solange sie nicht zu viele Stufen bzw. Ergebnisse haben).
Bsp.: Baumdiagramm für das 'Zweimalige Werfen einer Münze'
Erklärungen:
'K' steht für Kopf und 'Z' für Zahl beim Münzwurf
P(K) bzw. P(Z) ist hierbei die Wahrscheinlichkeit dafür dass man Kopf oder Zahl erhält. Da der Münzwurf ein Laplace Experiment ist, sind die Ausgänge gleich wahrscheinlich. Also beide bei 50%
oder wie man es im Baum angibt P = 0,5.
PK(K); PK(Z); usw. geben die Wahrscheinlichkeiten beim 2. Wurf an.
P(KnK) wird gesprochen als Wahrscheinlichkeit für K geschnitten K. Dies ist die Schnittwahrscheinlichkeit und sie wird berechnet, indem man die Wahrscheinlichkeiten an dem betrachtenden Pfad multipliziert. Ein Beispiel dazu ist in dem Baumdiagramm oben rechts zu finden bei P(KnK) = ... .
Vom Baum zur Vierfeldertafel
Bevor wir zur Vierfeldertafel übergehen, wiederholen wir nochmal das Baumdiagramm:
1. Die totalen Wahrscheinlichkeiten stehen ganz links und werden folgendermaßen gesprochen: P von A und P von A-Quer. Dieses A-Quer, B-Quer und so weiter beschreibt immer das Gegenereignis von A, B,... . Aus diesem Grund können wir auch einen Trick zur Überprüfung anwenden:
P von A und P von A-Quer müssen zusammenaddiert immer 1 ergeben.
2. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten folgen und sind immer, wie der name schon sagt, durch eine Bedingung gekennzeichnet. Man spricht z.B. für PA(B):
P von B unter der Bedingung A. Auch hier gibt es einen Trick:
Alle bedingten Wahrscheinlichkeiten, die mit der gleichen totalen Wahrscheinlichkeit verbunden sind, müssen zusammenaddiert 1 ergeben.
3. Die Schnitt- bzw. Pfadwahrscheinlichkeiten werden durch Multiplikation der einzelne Pfade erreicht, wie bereits weiter oben erklärt worden ist. Auch hier gilt der Trick:
Alle Schnitt- oder Pfadwahrscheinlichkeiten müssen zusammenaddiert 1 ergeben.
Vierfeldertafel
Eine Vierfeldertafel dient als Hilfsmittel um Zusammenhänge zwischen Ergebnissen vereinfacht darzustellen. Man kann somit Informationen (Wahrscheinlichkeiten, absolute Häufigkeit, etc.) ablesen und auch die Unabhängigkeit untersuchen. Wie diese Tafel entsteht wird euch nun verdeutlicht:
- In die erste Zeile kommen die Symbole für A und das Gegenereignis A-Quer
- In die erste Spalte kommen die Symbole für B und das Gegenereignis B-Quer
- Zu A, B und deren beider Gegenereignissen stehen die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten (rot markiert)
- Bei der späteren Tafel werden hier die gegebenen bzw. errechneten Werte eingesetzt
- Da die addierten Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse A und A-Quer genau 1 ergeben müssen, kann man die 1 unten rechts hinschreiben.
- Dasselbe gilt für B; B-Quer
- In die mittleren vier Felder wird die Schnitt-/ Pfadwahrscheinlichkeit notiert.
- Die Wahrscheinlichkeit in der letzten rechten Spalte muss die Summe aus den Schnittwahrscheinlichkeiten links davon ergeben
Zusammenfassung - Merke:
- Jede Wahrscheinlichkeit in der untersten Zeile wird berechnet, indem man die beiden Schnittwahrscheinlichkeiten darüber addiert.
- Jede Wahrscheinlichkeit in der letzten (rechten) Spalte wird berechnet, indem man die beiden Schnittwahrscheinlichkeiten links davon addiert.
- Die Wahrscheinlichkeiten in der letzen (untersten) Zeile bzw. die der letzen (rechten) Spalte müssen jeweils die Summe G ergeben. (Diese wurde in diesem Beispiel als 1 gewählt)