Ganzrationale Funktionen
Inhalt: Einfache Symmetrie mit Symmetrienachweis, Verhalten im Unendlichen und Nullstellen von f(x)
Einfache Symmetrie
Hinweis:
Für den Symmetrienachweis berechnet man f(-x)
-> f(-x) = f(x) symmetrisch zur y-Achse
-> f(-x) = -f(x) punktsymmetrisch zum Uhrsprung
Bsp. 1:
-> Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse
Bsp. 2:
-> Graph ist symmetrisch zum Ursprung
Vereinfachung:
- Besitzt der Graph von f(x) nur gerade Exponenten, dann ist f symmetrisch zur y-Achse.
- Besitzt der Graph von f(x) nur ungerade Exponenten, dann ist f punktsymmetrisch zum Ursprung.
- Besitzt der Graph von f(x) gerade UND ungerade Exponenten, so liegt keine Symmetrie vor.
Verhalten im Unendlichen
Hinweis:
- Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f für |x| -> ∞ wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt.
-> Bei der Funktion wird NUR dieser Summand betrachtet und als g(x) geschrieben.
Bsp.:
Prüfen des Verhaltens:
- Es gibt nur folgende 4 Möglichkeiten
- Denkt sich:
Wobei 'an' der Faktor vor dem x ist. Und 'n' der Exponent des x ist.
Möglichkeit 1:
- an > 0 und n ist positiv und gerade
- Für x -> ± ∞ gilt f(x) -> + ∞
Möglichkeit 2:
- an < 0 und n ist positiv und gerade
- Für x -> ± ∞ gilt f(x) -> - ∞
Möglichkeit 3:
- an > 0 und n ist positiv und ungerade
- Für x -> + ∞ gilt f(x) -> + ∞
- Für x -> - ∞ gilt f(x) -> - ∞
Möglichkeit 4:
- an < 0 und n ist positiv und ungerade
- Für x -> + ∞ gilt f(x) -> - ∞
- Für x -> - ∞ gilt f(x) -> + ∞
Nullstellen
Hinweis:
- Nullstelle ist eine Zahl mit Funktionswert 0
- Zur Berechnung dient die Gleichung f(x) = 0
- Der höchste Exponent der Funktion f(x) zeigt die MAXIMALE Anzahl von Nullstellen auf
Berechnung:
Fall: linearer Exponent
- Bei einen linearen Exponenten, wird die Gleichung Null gesetzt und nach 'x' aufgelöst
Fall: quadratischer Exponent
- Bei quadratischen Exponent (n = 2), wird die p,q-Formel angewendet.
Achtung: Vor dem 'x' darf KEIN Faktor stehen (sollte einer vorhanden sein, rechen durch diesen Faktor bevor du p,q-Formel anwendest)
Bsp.:
Fall: Exponent größer als 2
- Bei Funktionen, bei den der Exponent größer als 2 ist wird die Polynomdivision angewendet
- Schritt 1: Durch probieren die erste Nullstelle herausfinden, indem man x-Werte
Tipp: der x-Wert ist immer ein Teiler, der Zahl die ohne ein x steht
- Schritt 2: Funktion durch (x ± die erste Nullstelle) rechnen wie schriftlichen Division
-> ± bedeutet, wenn Nullstelle positiv ist, schreibt man (x - Nullstelle) und wenn negativ ist (x + Nullstelle)
- Schritt 3: p,q Formel (siehe Fall 2)
Bsp.:
Schritt 1: Nullstelle durch probieren
x = 2 | 2 ist ein Teiler der 8
Schritt 2: Polynomdivision
Schritt 3: p,q Formel anwenden
p = 3
q = -4
...