Extremalprobleme & Extremwertaufgaben

Um Aufgaben zu lösen, wo bestimmte Dinge Maximal/ Minimal werden sollen

1. Schritt: Hauptbedingung (was soll Maximal/ Minimal werden?)

2. Schritt: Nebenbedingung (welche Vorgaben gibt es?)

3. Schritt: Nebenbedingung umstellen

4. Schritt: Zielfunktion (Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetzten)

(4.1. Schritt): Zielfunktion ggf. zusammenfassen

5. Extremwerte der Funktion berechnen

Bsp:

Lösung:

1.             A = a * b

2.    2a + 2b = 16                   | siehe Umfangsgleichung vom Rechteck

3.            b = 8 - a

4.        A(a) = a (8 - a)

4.1       A(a) = 8a - a^2

5.        A(a) = 8a - a^2           | Ableitungen bilden für Extremalberechnung

          A'(a) = 8 - 2a

         A''(a) = -2

I        A'(a) = 0

              0 = 8 - 2a               | -8     | : (-2)

              a = 4

II     A''(4) = -2      < 0   -> HP

III     A(4) = 4 (8 - 4) = 16       | Ergebnis stimmt 

IV          b = 8 - a

             b = 8 - 4 = 4

Antwort: Wenn a = 4 und b = 4 wird der Flächeninhalt maximal.