Inhalt: Ableiten von e-Funktionen, Ableiten von Funktionsscharen mit e, Lösung von Exponentialgleichungen (e-Fkt.), Kurvendiskussion von e-Funktionen
Die Ableitung der e-Funktion ist immer die e-Funktion. Dieses Prinzip sollte man sich merken. Was passiert aber wenn nicht nur ein 'x' im Exponenten steht oder sogar eine verkettete Funktion vorliegt? Die folgenden Beispiele werden dies veranschaulichen.
1. f(x) = e^x -> f'(x) = e^x
2. f(x) = e^4x -> Anwenden der Kettenregel
f'(x) = e^4x * 4
f'(x) = 4 e^4x
Eselsbrücke: f'(x) = Ableitung des Exponenten * Original Funktion
3. f(x) = e^(4x^2) -> Eselsbrücke
f'(x) = 8x * e^(4x^2)
4. f(x) = 4 e^(4x^2) -> Eselsbrücke und Faktorregel
f'(x) = 4 * 8x * e^(4x^2) = 32x * e^(4x^2)
5. f(x) = 4x * e^(4x) -> Eselsbrücke, Produktregel
f'(x) = 4x * 4e^(4x) + 4 * e^(4x) = (4x + 4) * e^(4x)
6. f(x) = (2 - x) * e^(4x) -> Eselsbrücke, Produktregel
f'(x) = (-1) * e^(4x) + (2 - x) * 4e^(4x) = (-1 + 4(2 - x)) * e^(4x) = (7 - 4x) * e^(4x)
7. f(x) = x - 4e^(4x) -> Summenregel, Faktorregel, Eselsbrücke
f'(x) = 1 - 16e^(4x)
8. f(x) = e^(4x) - 2e^(2x^3) -> Summenregel, Faktorenregel, Eselsbrücke
f'(x) = 4e^(4x) - 12x^2 * e^(2x^3)
Bei der Ableitung von Funktionsscharen wird 'a' als konstanter Faktor angesehen und die Ableitungsregeln werden weiterhin angewendet.
Bsp1: fa(x) = 2a * e^(ax^2)
fa'(x) = 2a * 2ax * e^(ax^2)
fa(x) = 4a^2x * e^(ax^2)
Bsp2: fb(x) = (x + b) * e^(2bx)
fb'(x) = 1e^(2bx) + 2bx * e^(2bx) + 2b^2 * e^(2bx)
fb'(x) = (1 + 2bx + 2b^2) * e^(2bx)
Folgende 3 Fälle können bei Aufgaben zur Lösung von Exponentialgleichungen mit e auftreten:
1. Fall: [...] ± e^x = 0
Bsp.: 4 - 2e^(-10x) = 0
1. e-Term isolieren:
4 - 2e^(-10x) = 0 | - 4
- 2e^(-10x) = -4 | : (-2)
2. Logarithmus-Naturales
e^(-10x) = 2 | ln()
ln (e^(-10x)) = ln (2) / ln + e kürzen
- 10x = ln (2) | : (-10)
x = ln (2) / -10
x ≈ - 0,069
2. Fall : [...] * e^x = 0
Bsp.: (x^2 - 9) * e^(-2x) = 0
Erinnerung: Satz von Vieta
1. Faktor (e-Term):
e^(-2x) ≠ 0 / nie null-> andere Faktor
2. Faktor (Klammer):
x^2 - 9 = 0 | + 9
x^2 = 9 | ± √
x1 = -3
x2 = 3
3. Fall: e^x ± e^x = 0
Bsp: 2e^(-4x) - 8e^(2x)
1. e-Terme trennen:
2e^(-4x) - 8 e^(2x) = 0 | + 8e^(2x)
2. Einen e-Term isolieren:
2e^(-4x) = 8e^(2x) | : 2
3. ln () - Logarithmus Naturales:
e^(-4x) = 4e^(2x) | ln()
ln (e^(-4x)) = ln (4e^(2x))
4. Logar.gesetz:
ln (ab) = ln (a) + ln (b)
- 4x = ln (4) + 2x | - 2x
- 6x = ln (4) | : (-6)
x = ln (4) / -6
x = -0,23
1. Ableitungen bilden: f'(x) ; f''(x) ; f'''(x)
2. Nullstellen: f(x) = 0
3. Extrema: f'(x) = 0 und f''(x) ≠ 0
4. Wendepunkte: f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0
5. Verhalten x -> ∞: für x -> ± ∞ gilt f(x) -> ± ∞
bzw. für x -> + ∞ gilt f(x) -> ...
für x -> - ∞ gilt f(x) -> ...
6. evtl. Graph zeichnen