Ableitungen von Funktionen I
Inhalt: Zeichnerische Bestimmung, die H-Methode, einfache Ableitungsregeln
Zeichnerische Bestimmung
Im Bild (links) ist der Graph von f dargestellt. Ordene jedem der Punkte A-F eine Steigung zu, indem du Tangenten anlegst und denen mit Hilfe eines Steigungsdreiecks eine Steigung zuordnest (Bild rechts).
Nun ordne die Steigung (als y-Wert) den x-Werten zu und trage diese im Koordinatensystem ein
Merke:
- Die Funktion oben besitzt in jedem Punkt des Graphen eine Steigung. Ordnet man nun jeder x-Stelle die dortige Steigung f'(x) zu, so erhält man die Ableitungsfunktion f' (Bild)
- An der Ableitungsfunktion f' ist erkennbar, wann die Funktion f steigt/ fällt:
-> f' ist positiv, wenn f steigt
-> f' ist negativ, wenn f fällt
- Die Nullstellen von f'(x) geben die Extremalpunkte von f(x) an
H-Methode zur rechnerischen Bestimmung
f(x) = x^2
Ableitung
-------------------->
f(x) = ?
Herausfinden ist durch den Differentialquotient möglich, indem man lim h-> 0 streben lässt:
1. Wird f in die Formel eingesetzt
2. Binomische Formeln auflösen
3. h ausklammern
4. h wird gekürzt
5. h läuft gegen 0, somit bekommen wir als Ergebnis f'(x) = 2x0
Einfache Ableitungsregeln
Da das herausfinden der Ableitungsfunktion f'(x) mit der H-Methode zu lange dauert, gibt es die Ableitungsregeln, welche das Ganze vereinfachen.
1. Potenzregel:
- Der Exponent der Potenz wird um 1 verringert und die Potenz mit dem alten Exponenten multipliziert
2. Faktorregel:
- Liegt eine Funktion mit einem Faktor 'a' vor, so bleibt dieser bestehen und wird mit der Ableitung der Funktion multipliziert
3. Summenregel:
- Eine Summe wird abgeleitet, indem jeder einzelne Summand für sich abgeleitet wird und die Ableitungen zum Schluss addiert werden
4. Konstantenregel:
- Eine konstante Funktion hat überall die Steigung null. Somit ist ihre Ableitungsfunktion f'(x) = 0
