Einführung Integralrechnung
Inhalt: Ober und Untersumme, Flächeninhaltsfunktion F(x) - Herleitung
Ober- und Untersumme
Die Wiese im Bild soll verkauft werden. Sie wird links und unten (x und y-Achse) von Landstraßen, oben von dem Fluss und rechts vom Nachbargrundstück begrenzt. Damit die Wiese verkauft werden kann, muss zuerst ihr Flächeninhalt ermittelt werden. Der Verkäufer will natürlich die Fläche nicht zu klein angeben und der Käufer nicht zu groß.
Die Funktionsgleichung für den Bach lautet: f(x) = 1/400 x^2 + 200
Um die Fläche mit uns bekannten Methoden zu berechnen, werden folgende eingeteilte Rechtecke (siehe die Bilder) ausgerechnet und zum Schluss miteinander addiert. Dabei ist zu beachten, dass Käufer und Verkäufer natürlich unterschiedlich rechnen, um einen Vorteil für sich zu beziehen.
Lösung für Käufer
Der Käufer berechnet die Fläche wie abgebildet und bekommt als Ergebnis eine Fläche, die kleiner als die wirkliche ist. Dies wird in der Mathematik als Untersumme bezeichnet.
Lösung für den Verkäufer
Der Verkäufer bekommt als Ergebnis nun eine Fläche heraus, die größer als die reale ist (Wiese ragt über den Bachlauf). Das bezeichnen wir als Obersumme in der Mathematik.
Merke: Ober- und Untersummen
Das Grundproblem der Integralrechnung liegt darin, eine Fläche zwischen einem Funktionsgraph und der x-Achse zu berechnen. Man erhält eine grobe Näherung der Fläche, wenn man das zu betrachtende Intervall (Bsp. war dies die Wiese) in mehrere Teilintervalle zerlegt. In jedem dieser Intervalle, lässt sich die Fläche mit einem Rechteck annähern. Dabei gibt es die 2 Möglichkeiten Ober- und Untersumme.
Es gilt: Obersumme ≤ Fläche ≤ Obersumme.
Um noch genauer den Flächeninhalt annähern zu können, erhöhen wir die Streifenanzahl (grüne Rechtecke in den Bildern). Dadurch wird die Breite dieser kleiner und Ober- und Untersumme nähern sich an. Das heißt, die Differenz zwischen Ober- und Untersumme wird kleiner.
-> lässt man die Streifenanzahl gegen Unendlich streben, so wird die Streifenbreite und die Differenz O-U unendlich klein.
Flächeninhaltsfunktion F(x) - Herleitung
Unter- und Obersumme liefern wie bereits beschrieben nur einen angenäherten Flächenwert einer krummlinigen Fläche. Viel besser wäre es, wenn man eine Flächeninhaltsfunktion F(x) hätte, die eine Fläche in einem Intervall genau berechnen könnte. Aber wie findet man diese? Die folgenden Schritte erklären dies.
F(x0) + f(x0) * ∆x
-> etwas kleiner als tatsächliche Fläche
F(x0 + ∆x)
-> ist die tatsächliche Fläche
F(x0) + f(x0 + ∆x) * ∆x |f(x0 + ∆x), da dies die neue Höhe vom Rechteck angibt
-> etwas größer als tatsächliche Fläche
Diesen Zusammenhang kann man so formulieren:
F(x0) + f(x0) * ∆x ≤ F(x0 + ∆x) ≤ F(x0) + f(x0 + ∆x) * ∆x | - F(x0)
f(x0) * ∆x ≤ F(x0 + ∆x) - F(x0) ≤ f(x0 + ∆x) * ∆x | : ∆x
f(x0) ≤ ( F(x0 + ∆x) - F(x0) )/∆x ≤ f(x0 + ∆x)
Je schmaler die Flächenstreifen, desto geringer ist die Abweichung von der tatsächlichen Fläche 'A'. Also lässt man ∆x gegen Null streben, was durch Grenzwertbildung erreicht wird:
lim∆x->0 f(x0) ≤ lim∆x->0 ( F(x0 + ∆x) - F(x0) )/∆x ≤ lim∆x->0 f(x0 + ∆x)
lim∆x->0 ( F(x0 + ∆x) - F(x0) )/∆x ist der Differenzialquotient. Dieser gibt die Steigung an der Stelle x0 an und entspricht somit der Ableitung der Funktion F(x) an der Stelle x0. Es gilt folgendes:
f(x0) ≤ F'(x0) ≤ f(x0) | dieser Vergleich entsteht, wenn ∆x->0 und 'entfällt' gedanklich
f(x0) = F'(x0) = f(x0) | ≤ kann nun als = geschrieben werden
Somit: F'(x) = f(x)
-> Dies bedeutet, dass die Ableitung der Flächenfunktion F(x) an der Stelle x0 gleich dem Funktionswert f(x0) an der Stelle x0 ist.
Merke:
Allgemein gilt: F'(x) = dF(x) / dx = f(x)