Was dir nun beigebracht wird, ist die Integration mit den Integrationsregeln. Häufig wird in der Schule dazu 'aufleiten' gesagt, womit vereinfacht gesagt, das Gegenteil vom Ableiten bezeichnet werden soll. Aber wie funktioniert dieses aufleiten nun?
Beim Ableiten, wurde aus f(x) = 2x ein f'(x) = 2.
Beim Integrieren/Aufleiten gehen wir in die umgekehrte Richtung. Wir haben nun ein f(x) und suchen F(x).
Eine Konstante a wird folgendermaßen integriert:
f(x) = 2 -> F(x) = 2x + C
f(x) = -0,5 -> F(x) = -0,5x + C
Merke:
f(x) = a -> F(x) = a * x + C
Eine Konstante wird aufgeleitet, indem man zu 'a' ein 'x' multipliziert. Außerdem wird ein +C dazugeschrieben, was für alle möglichen Zahlen steht.
Der Grund ist, wenn wir nun unser F(x) ableiten wird x gleich 1, das C entfällt (Ableitungsregeln) und es bleibt nur das 'a' bestehen - wir erhalten unsere f(x).
Eine Potenz wird folgendermaßen integriert:
f(x) = x^n -> F(x) = 1/n+1 x^(n+1) + C
Bsp.:
f(x) = x^3 -> F(x) = 1/4 x^4 + C
f(x) = x^(-3) -> F(x) = -1/2 x^(-2) + C
Merke:
Die Potenzregel ist eigentlich recht simpel. Ihr addiert zu der Hochzahl (Exponenten) eine +1 um den neuen Exponenten zu erhalten. Diesen schreibt ihr nun unter den Bruch 1/... und fügt noch ein +C hinzu. Das ist euer F(x).
Liegt ein Faktor bei der zu integrierenden Funktion vor, so bleibt dieser bestehen.
Bsp.:
f(x) = 7 * x^3 -> F(x) = 7 * 1/4 x^4 + C => 7/4 x^4 + C
f(x) = 6 * x^(3/2) -> F(x) = 6 * 1/5/2 x^(5/2) + C => 12/5 x^(5/2) + C
Merke:
Liegt ein Faktor 'c' vor, so bleibt dieser bestehen (wenn er kein x enthält) und wir verfahren mit dem 2. Faktor wie bei der Potenzregel.
Es gilt: f(x) = c * x^n -> F(x) = c * 1/n+1 x^(n+1) + C
Die lineare Substitution funktioniert folgendermaßen:
f(x) = a(mx + n)^n -> F(x) = 1/n+1 * 1/m * a(mx + n)^(n+1) + C
Bsp.:
f(x) = 7(2x - 3)^5 -> F(x) = 1/6 * 1/2 * 7(2x - 3)^6 + C
Merke:
Die lineare Substitution ist nur dann anwendbar, wenn der Term in der Klammer linear ist.
Merke:
Soll ein Produkt (u(x) * v(x)) integriert werden, so wird die partielle Integration bzw. auch als Produktintegration bekannt angewendet.
Es gilt:
∫ f(x) dx = u(x) * v(x) - ∫ u'(x) * v(x) dx
Bsp.:
f(x) = ∫ (x * e^x) dx | u = x u' = 1 v = e^x v' = e^x
= u * v - ∫ (u' * v) dx
= x * e^x - ∫ (1 * e^x) dx | 1 kann man vors Integral schreiben
= x * e^x - 1 ∫ e^x dx | e^x aufgeleitet ergibt e^x
= x * e^x - e^x + C
f(x) = ∫ (lnx) dx
= u * v - ∫ (u' * v) dx
= lnx * x - ∫ (1/x * x) dx | x in der Klammer kürzen
= lnx * x - ∫ 1dx
= lnx * x - x + C